\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{重新回到三维世界：4-向量的低速近似}
	我们首先回顾一下Lorentz变换：
	\begin{equation}
		x^{(2)} = L x^{(1)} 
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & -\frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	以下我们简要探讨，在低速情况下，相对论运动学的4-向量如何回归经典力学的相应物理量。
	问题的关键是把握 $u << c$，这使$\gamma \to 1$等。
	
	\begin{itemize}
		\item 在低速情况下，Lorentz变换矩阵化为一个非对称的矩阵：
		\begin{equation}
			L \approx \begin{pmatrix} 
				1 & 0 & 0 & 0 \\ 
				-\frac{u}{c} & \gamma & 0 & 0 \\ 
				0 & 0 & 1 & 0 \\ 
				0 & 0 & 0 & 1 
			\end{pmatrix} 
		\end{equation}
		为什么区别对待$L_{01}$和$L_{10}$？他们不都是$-\frac{u}{c}$吗？
		我们下文解答。
		
		\item 在低速情况下，4-坐标形式保持一致：
		\begin{equation}
			x = (ct,x,y,z)^T
		\end{equation}
		他的Lorentz变换是
		\begin{equation}
			x^{(2)} = L x^{(1)} 
			\quad
			\begin{pmatrix} 
				ct^{(2)} \\ 
				x^{(2)} \\ 
				y^{(2)} \\ 
				z^{(2)} 
			\end{pmatrix} 
			= 
			\begin{pmatrix} 
				1 & 0 & 0 & 0 \\ 
				-\frac{u}{c} & 1 & 0 & 0 \\ 
				0 & 0 & 1 & 0 \\ 
				0 & 0 & 0 & 1 
			\end{pmatrix} 
			\begin{pmatrix} 
				ct^{(1)} \\ 
				x^{(1)} \\ 
				y^{(1)} \\ 
				z^{(1)} 
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix} 
				ct^{(1)} \\ 
				x^{(1)} - ut^{(1)} \\ 
				y^{(1)} \\ 
				z^{(1)} 
			\end{pmatrix}
		\end{equation}
		Lorentz变换回到经典的Galilean变换。
		经典力学中，所有参考系“共享”相同的时间$t$，
		$x$的第零分量其实不大重要，因此我们常使用仅关于空间的三维坐标。
		倘若我们保留$L_{01}$
		$$
		x^{(2)} = L x^{(1)} 
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			1 & -\frac{u}{c} & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} & 1 & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix} 
			c(t^{(1)} -\frac{u}{c^2} x^{(1)}) \\ 
			x^{(1)} - ut^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
		$$
		我们发现，$L_{01}$的项，相乘之后导致$\Delta t = - \frac{u}{c^2} x^{(1)}$，
		由于$u << c$，再除以$c$后相当于“二阶小”，因此可以忽略；
		反过来说，$L_{10}$的$\frac{u}{c}$会乘以一个$c$，使其变成一个不是很小的量，因此不能忽略。
		
		\item 在低速情况下，4-速度中的$\gamma \to 1$:
		\begin{equation}
			U = \gamma (c, v_x, v_y, v_z)^T \approx (c, v_x, v_y, v_z)^T
		\end{equation}
		他的Lorentz变换是
		\begin{equation}
			U^{(2)} = L U^{(1)}
			\qquad 
			\begin{pmatrix} 
				c \\ 
				v_x^{(2)} \\ 
				v_y^{(2)} \\ 
				v_z^{(2)} 
			\end{pmatrix} 
			= 
			\begin{pmatrix} 
				1 & 0 & 0 & 0 \\ 
				-\frac{u}{c} & 1 & 0 & 0 \\ 
				0 & 0 & 1 & 0 \\ 
				0 & 0 & 0 & 1 
			\end{pmatrix} 
			\begin{pmatrix} 
				c \\ 
				v_x^{(1)} \\ 
				v_y^{(1)} \\ 
				v_z^{(1)} 
			\end{pmatrix} 
			=
			\begin{pmatrix} 
				c \\ 
				v_x^{(1)} - u \\ 
				v_y^{(1)} \\ 
				v_z^{(1)} 
			\end{pmatrix}
		\end{equation}
		这个是经典的速度叠加原理。
		
		\item 低速下的4-加速度形式极大简化：
		\begin{equation}
			A =  
			\gamma \begin{pmatrix} 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c} \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_x + \gamma a_x \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_y + \gamma a_y \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_z + \gamma a_z 
			\end{pmatrix}
			\approx
			(0,a_x,a_y,a_z)^T
		\end{equation}
		他的Lorentz变换是
		\begin{equation}
			A^{(2)} = L A^{(1)}
			\qquad 
			\begin{pmatrix} 
				0 \\ 
				a_x^{(2)} \\ 
				a_y^{(2)} \\ 
				a_z^{(2)} 
			\end{pmatrix} 
			= 
			\begin{pmatrix} 
				1 & 0 & 0 & 0 \\ 
				-\frac{u}{c} & 1 & 0 & 0 \\ 
				0 & 0 & 1 & 0 \\ 
				0 & 0 & 0 & 1 
			\end{pmatrix} 
			\begin{pmatrix} 
				0 \\ 
				a_x^{(1)} \\ 
				a_y^{(1)} \\ 
				a_z^{(1)} 
			\end{pmatrix} 
			=
			\begin{pmatrix} 
				0 \\ 
				a_x^{(1)} \\ 
				a_y^{(1)} \\ 
				a_z^{(1)} 
			\end{pmatrix}
		\end{equation}
		可见，在经典力学下，不同惯性系中加速度保持不变。
	\end{itemize}
	综上所述，我们在相对论框架下导出了经典物理的参考系变换规律，和我们的生活常识一致。
	在套用相对论的语言后，经典力学变换规律的表述甚至更为简明，统一为了一步形式类似的矩阵乘法，
	而不用分别记忆分量形式的坐标、速度和加速度的转换规律。
	\textsl
	{
		至少我在学到相对论时，已经快忘了经典力学下这些量是如何变换的！
		毕竟在经典力学中，这些量的变换如同呼吸一样平凡，很少有人细究。
	}

\end{document}